ABSTRACT An analytical solution for the interaction of cylindrical inhomogeneities in a complex potential was obtained using the analytical element method. This method utilizes expansions in the Laurent and Taylor series for the outer and inner parts, respectively, of each cylindrical inhomogeneity. The availability of individual solutions allowed the application of the superposition principle to obtain the solution of the flow problem in terms of discharge potential. This representation, however, required an iterative method for determining the coefficients of the series expansions, which used the minimum value for the absolute differences between successive iterations and a maximum number of iterations as a stop criterion. The implementation of the algorithm was performed in Python language v 3.6.7 and the numerical results after analysis of the convergence are presented in graphs containing the set of inhomogeneities used and their influence on the behavior of flow lines and potentials. These, through the precision and detail obtained, showed the ability of the MEA to characterize flow and identify preferred channels, evidencing its applicability to real situations.

RESUMO O efeito da interação do conjunto de inomogeneidades cilíndricas no potencial complexo em campo uniforme foi analisado por meio da solução proveniente do método de elementos analíticos. Esta, por sua vez, foi obtida por meio das expansões em Série de Laurent e Série de Taylor nas partes exterior e interior, respectivamente, de cada inomogeneidade cilíndrica. O formalismo do método de elementos analíticos, baseado no princípio da superposição, permitiu obter a solução do escoamento em termos de potencial de descarga. A determinação dos coeficientes complexos direcionou para a escolha de um método iterativo, o qual utilizou o valor mínimo para as diferenças absolutas entre iterações sucessivas e um número máximo de iterações como critério de parada. A respectiva implementação de todos os elementos do artigo foi realizada em linguagem Python v 3.6.7. Quanto à disposição das inomogeneidades, espaçamentos regulares e espaçamentos com posições e raios aleatórios são dois elementos considerados; quanto às condutividades quatro cenários são considerados em cada caso de disposição. Em todos os elementos, funções aleatórias foram utilizadas para caracterizar as condutividades do meio e de cada uma das inomogeneidades. Os resultados numéricos permitem avaliar a influência dos diversos cenários de condutividades, bem como a respectiva interação com os poços de bombeamento e injeção no caso de disposição aleatória. Além disso, a precisão e o nível de detalhamento que podem ser alcançados ilustram a capacidade do MEA para a caracterização do escoamento e identificação de canais preferenciais. Por fim, uma análise da convergência do algoritmo iterativo é apresentada para os cenários avaliados.

RESUMO Neste artigo o método multigrid algébrico baseado em agregação suavizada, o método clássico de Ruge-Stuben e o método GMRES pré-condicionado por multigrid algébrico foram utilizados para a solução da equação do fluxo livre estacionário em domínio georreferenciado. A disponibilidade dos códigos computacionais permitiu avaliar a aproximação de elementos finitos sob a perspectiva dos métodos multigrid algébricos e respectiva combinação, como pré-condicionante, com o método GMRES. As diferenças máximas entre soluções por diferentes métodos, o tempo necessário para obter as soluções dos sistemas lineares associados, em cada uma das iterações de Picard, os residuais de cada um dos métodos iterativos e os residuais em cada uma das iteradas de Picard são apresentados e discutidos. Como resultado da análise, os métodos pré-condicionados são mais eficientes no sentido do menor tempo computacional aliado à estabilidade do número de iterações. A análise dos residuais das iterações de Picard permite comparar a evolução dos diferentes métodos de solução dos sistemas lineares. O detalhamento dos residuais dos métodos iterativos em cada passo das iterações de Picard permitiu uma visão mais abrangente e uma análise da convergência. Em detalhes, o método baseado em agregação suavizada necessita de um número expressivamente menor de iterações quando comparado ao método clássico de Ruge Stüben nas primeiras iterações de Picard. O pré-condicionamento reduz o número de iterações em relação às iterações iniciais e há uma persistência da redução do número de iterações do método baseado em agregação em relação ao método clássico.

ABSTRACT In this paper, the algebraic multigrid method based on smoothed aggregation, the classical method of Ruge-Stúben and the method GMRES preconditioned by algebraic multigrid were used to solve the steady-state free flow equation in a georeferenced domain. The availability of computer codes allowed us to evaluate the approximation of finite elements from the perspective of algebraic multigrid methods and their combination, as preconditioning, with the GMRES method. The maximum differences between solutions by different methods, the time required to obtain the solutions of the associated linear systems, in each of the Picard iterations, the residuals of each of the iterative methods and the residuals of each of the Picard iterations are presented and discussed. As a result of the analysis, the preconditioned methods are more efficient in the sense of less computational time combined with the stability of the number of iterations. The analysis of the residuals of Picard iterations allows comparing the evolution of the different methods of solving linear systems. The detailing of the residuals of the iterative methods in each step of Picard’s iterations allowed a more comprehensive view and an analysis of convergence. In detail, the method based on smoothed aggregation needs a significantly smaller number of iterations when compared to the classical method of Ruge Stüben in the first iterations of Picard. The preconditioning reduces the number of iterations in relation to the initial iterations and there is a persistence of the reduction in the number of iterations of the aggregation-based method in relation to the classical method.